Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-

1

3

是f（x）的極值點，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）f^′（x）=3x²-2ax-3，
∵x=-

1

3

是f（x）的極值點，∴f′(-

1

3

)=0，即3×(-

1

3

)2-2a×(-

1

3

)-3=0，解得a=4．
經(jīng)驗證a=4滿足題意．
∴f（x）=x³-4x²-3x，f^′（x）=3x²-8x-3，
令f^′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=-

1

3

或3．
∴當(dāng)x＜-

1

3

或x＞3時，f^′（x）＞0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-

1

3

)或（3，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-

1

3

＜x＜3時，f^′（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在區(qū)間(-

1

3

，3)上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值為f（1）=-6．
（2）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，
∴f^′（x）=3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
則

a 3 ≤1 f′(1)≥0

或△＜0，解得a≤0．