Question

（本小題滿分12分）設(shè)拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸正半軸上，過點的直線交拋物線于兩點，線段的長是，的中點到軸的距離是．

(1)求拋物線的標準方程；

(2)在拋物線上是否存在不與原點重合的點，使得過點的直線交拋物線于另一點，滿足，且直線與拋物線在點處的切線垂直？并請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在點.

【解析】

試題分析：(1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程；（2）在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此；（3）解決直線和拋物線的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點不定，可由點斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）設(shè)拋物線的方程是，,

由拋物線定義可知 2分

又中點到軸的距離為3，∴，∴p＝2，

所以拋物線的標準方程是. 4分

(2)設(shè)，則在處的切線方程是，

直線代入得， 6分

故，所以 8分

而 10分

，得，所以，

存在點. 12分

考點：1、拋物線的標準方程；2、直線與拋物線的綜合問題.