Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)于所有的自然數(shù)n，都有Sn=

n(a1+an)

2

，證明{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：本小題考查等差數(shù)列的證明方法，數(shù)學(xué)歸納法及推理論證能力．
等差數(shù)列的證明是數(shù)列的常見(jiàn)題型，本題可用兩種方法：
一是用數(shù)學(xué)歸納法，適用于理科，因?yàn)橹灰�能證明{a_n}的通項(xiàng)公式滿(mǎn)足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+（n-1）d（n∈N），問(wèn)題就可得證，這顯然是與自然序號(hào)n有關(guān)的命題，故可以選擇數(shù)學(xué)歸納法；
二是數(shù)列用定義證明，即證明a_n-a_n-1=m（常數(shù)），利用已知前n項(xiàng)和Sn=

n(a1+an)

2

，首先利用a_n=s_n-s_n-1表示出a_n，然后可以計(jì)算a_n-a_n-1=m證明之，

解答：證明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）當(dāng)n=1時(shí)上述等式為恒等式a₁=a₁．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，a_k=a₁+（k-1）d．由題設(shè)，有
S_k=

k(a1+ak)

2

，S_k+1=

(k+1)(a1+ak+1)

2

，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）

(a1+ak+1)

2

=

k(a1+ak)

2

+ak+1
把a(bǔ)_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．
由（1）和（2），等式對(duì)所有的自然數(shù)n成立，從而{a_n}是等差數(shù)列
法二：
當(dāng)n≥2時(shí)，由題設(shè)，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，Sn=

n(a1+an)

2

．
所以a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

同理有
a_n+1=

(n+1)(a1+an-1)

2

-

n(a1+an)

2

．
從而
a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
從而{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列的證明在高考中常見(jiàn)，是高考的重要題型，本題就是全國(guó)高考題．
等差數(shù)列的證明最常用的有兩種方法：1．用定義證明，即證明a_n-a_n-1=m（常數(shù)），有時(shí)題目很簡(jiǎn)單，很快可求證，但有時(shí)則需要一定的變形技巧，這需要多做題，慢慢就會(huì)有感覺(jué)的，本題就有些復(fù)雜． 2．用等差數(shù)列的性質(zhì)證明，即證明2a_n=a_n-1+a_n+1，此法不適用于本題，對(duì)于給出數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，此法比較方便．
另外本題因?yàn)槭桥c自然序號(hào)相關(guān)的命題，所以法一運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法，盡管繁瑣，但思路清晰．