Question

已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點（0，1），離心率為．
（I）求橢圓E的方程；
（II）若直線l過橢圓E的左焦點F，且與橢圓E交于A、B兩點，若△OAB的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓E的方程，利用橢圓E過點（0，1），離心率為，建立方程組，即可求橢圓E的方程；
（II）分類討論，再將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及S_△OAB=|OF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=，即可求直線l的方程．
解答：解：（I）設(shè)橢圓E的方程為，則
∵橢圓E過點（0，1），離心率為，
∴，∴a²=2，b²=1
∴橢圓E的方程為；
（II）（1）l⊥x軸時，A（-1，-），B（-1，），|AB|=
∴△OAB的面積為=，不滿足題意；
（2）l與x軸不垂直時，設(shè)方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
∴|y₁-y₂|==
∵S_△OAB=|OF||y₁-y₂|=|y₁-y₂|=
∴|y₁-y₂|=
∴
∴k⁴+k²-2=0
∴k=±1
∴直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．