已知a、b、c∈R，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

答案：
解析：

　　解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

　　∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．

　　∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

　　變式引申：已知a、b、c∈R+求證：a3＋b3＋c3≥3abc．

　　解：a3＋b3＝a·a2＋b·b2≥a(2ab－b2)＋b(2ab－a2)＝a2b＋ab2．①

　　同理b3＋c3≥b2c＋bc2，②

　　c3＋a3≥c2a＋ca2．③

　�、伲冢郏�

　　2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ac＋c·2ab＝6abc．

　　∴a3＋b3＋c3≥3abc．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

50、已知a，b，c∈R，證明：a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明：
（1）已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2，
（2）已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2 ≥ 
13
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c∈R+且滿足a+2b+3c=1，則
1
a
+
1
2b
+
1
3c
的最小值為
9
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c2≥
1
3
；
（2）a，b，c為互不相等的正數(shù)，且abc=1，求證：
1
a
+
1
b
+
1
c
＞
a
+
b
+
c
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c∈R，且a＞b，那么下列不等式中成立的是（　�。�

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