Question

 如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，，點E在PD上，且PE：ED=2：1。

   （I）證明：平面ABCD；

   （II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大小。

   （III）在棱DC上是否存在一點F，使BF//平面AEC？證明你的結論

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）證明：因為底面ABCD是菱形，

    所以AB=AD=AC=a，

    在

    知

    同理，

   （II）解：作EG//PA交AD于G，

    由

    知

    作

   

    又PE：ED=2：1

    所以

    從而

   （III）解法一 以A為坐標原點，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標系如圖。

    由題設條件，相關各點的坐標分別為

   

    所以

   

    設點F是棱PC上的點，

    ，

    其中

    則

   

   

    令得

   

    即

    解得

    即時，

    共面。

    又平面AEC，所以當F是棱PC的時，BF//平面AEC。

    解法二  當F是棱PC的中點時，BF//平面AEC。證明如下：

    證法一  取PE的中點M，連結FM，則FM//CE。①

    由，知E是MD的中點。

    連接BM、BD，設

    則O為BD的中點。

    所以MB//OE。  ②

    由①、②知，平面BFM//平面AEC。

    證法二

    因為

   

   

    所以共面。

    又平面AEC，從而BF//平面AEC。