Question

設(shè)f（k）是滿足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然數(shù)x的個數(shù)，
（1）求f（x）的解析式；
（2）記S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）記P_n=n-1，設(shè)T_n=，對任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整數(shù)m的最小值．

Answer 1

解：（1）原不等式可轉(zhuǎn)化為：
即
∴2^k-1≤x≤2^k
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．
（3）∵，
當(dāng)1≤n≤9時，T_n單調(diào)遞減，此時，
當(dāng)n≥10時，T_n單調(diào)遞減，此時（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．
分析：（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)及對數(shù)的單調(diào)性可把原不等式可轉(zhuǎn)化為：，解不等式
可得x的范圍，進而可求f（k）
（2）利用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式可求
（3）由，結(jié)合對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性可求
點評：本題主要考查了對數(shù)的運算的運算性質(zhì)的應(yīng)用，對數(shù)不等式的解法，等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用及理由數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉�，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用