Question

如圖，以AB為直徑的圓有一內(nèi)接梯形ABCD，且AB∥CD．若雙曲線以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當梯形的周長最大時，雙曲線的離心率為（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進而可求得梯形的周長的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，根據(jù)雙曲線的定義求得雙曲線的長軸，即可求得雙曲線的離心率．
解答：解：設∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
∴CD=2R-4Rsin²θ，
∴梯形的周長l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ=-4R（sinθ-）²+5R．
當sinθ=，即θ=30°時，l有最大值5R，
這時，BC=R，AC=R，a=（AC-BC）=（-1）R，
∴e==+1．
故選D．
點評：本題主要考查了雙曲線的應用，雙曲線的定義，考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題．