Question

設(shè)項數(shù)均為（）的數(shù)列、、前項的和分別為、、.已知集合=.
（1）已知，求數(shù)列的通項公式；
（2）若，試研究和時是否存在符合條件的數(shù)列對（，），并說明理由；
（3）若，對于固定的，求證：符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對.

Answer 1

（1）；（2）時，數(shù)列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時，數(shù)列對（，）不存在.（3）證明見解析．

試題分析：（1）這實質(zhì)是已知數(shù)列的前項和，要求通項公式的問題，利用關(guān)系來解決；（2）時，可求出，再利用
=，可找到數(shù)列對（，）（注意結(jié)果不唯一），當(dāng)時，由于，即，可以想象，若存在，則應(yīng)該很大（體現(xiàn)在），研究發(fā)現(xiàn)（具體證明可利用二項展開式，
，注意到，展開式中至少有7項，故，下面證明這個式子大于，應(yīng)該很好證明了），這不符合題意，故不存在；（3）可通過構(gòu)造法說明滿足題意和數(shù)列對是成對出現(xiàn)的，即對于數(shù)列對（，），構(gòu)造新數(shù)列對，（），則數(shù)列對（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數(shù)列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數(shù)，矛盾）．
試題解析：（1）時，
時，，不適合該式
故，                       4分
（2），
時，
                6分
當(dāng)時，，，，
=
數(shù)列、可以為（不唯一）：
6,12,16,14；2,8,10,4    ②  16,10,8,14；12,6,2,4           8分
當(dāng)時，


此時不存在.故數(shù)列對（，）不存在.                10分
另證：
當(dāng)時，
（3）令，（）        12分

又=，得

=
所以，數(shù)列對（，）與（，）成對出現(xiàn)。         16分
假設(shè)數(shù)列與相同，則由及，得，，均為奇數(shù)，矛盾！
故，符合條件的數(shù)列對（，）有偶數(shù)對。               18分項和與的關(guān)系；（2）觀察法，二項展開式證明不等式；（3）構(gòu)造法．