Question

（本小題滿分14分）

如圖，四邊形是正方形，△與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是的中點，點是邊上的任意一點.

（1）求證：；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由已知可得，，，先證平面，得到，再證平面，得到，進而證平面，即可得；（2）先建立空間直角坐標系，再計算平面和平面的法向量，進而可算出二面角的平面角的余弦值，利用，即可得二面角的平面角的正弦值.

試題解析：（1）證明：∵是的中點，且，

∴ . 1分

∵ △與△均是以為直角頂點的等腰直角三角形，

∴ ，.

∵ ，平面，平面，

∴ 平面.

∵ 平面，

∴ . 2分

∵ 四邊形是正方形，

∴ . 3分

∵ ，平面，平面，

∴ 平面.

∵ 平面，

∴ . 4分

∵ ，平面，平面，

∴ 平面. 5分

∵ 平面，

∴ . 6分

（2）解法1：作于，連接，

∵ ⊥平面，平面

∴ . 7分

∵ ，平面，平面，

∴ ⊥平面. 8分

∵ 平面，

∴ . 9分

∴∠為二面角的平面角. 10分

設(shè)正方形的邊長為，則，，

在Rt△中，， 11分

在Rt△中，，， 12分

在Rt△中， . 13分

∴ 二面角的平面角的正弦值為. 14分

解法2：以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸 ，

建立空間直角坐標系，設(shè)，

則，，,. 7分

∴，.

設(shè)平面的法向量為，

由 得 8分

令 ，得，

∴ 為平面的一個法向量. 9分

∵ 平面，平面，

∴ 平面平面.

連接，則.

∵ 平面平面，平面，

∴ 平面. 10分

∴ 平面的一個法向量為. 11分

設(shè)二面角的平面角為，

則. 12分

∴. 13分

∴ 二面角的平面角的正弦值為. 14分

考點：1、線線垂直、線面垂直；2、二面角.