Question

定義在R上奇函數(shù)f（x）滿足：f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)有xf′（x）＜f（x）成立，則不等式x²f（x）＞0的解集為（　�。�

A．（-∞，-2）

B．（0，2）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析：首先根據(jù)商函數(shù)求導(dǎo)法則，把當(dāng)x＞0時(shí)有xf′（x）＜f（x）成立，轉(zhuǎn)化為

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）內(nèi)的正負(fù)性；最后結(jié)合奇函數(shù)的圖象特征，可得f（x）在（-∞，0）內(nèi)的正負(fù)性．則x²f（x）＞0的解集即可求得．

解答：解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）＜f（x）成立，
∴

xf′(x)-f(x)

x2

＜0恒成立，即[

f(x)

x

]′＜0恒成立，
∴

f(x)

x

在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
∵f（2）=0，
∴在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴在（-∞，-2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（-2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．
又不等式x²f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．
∴答案為（-∞，-2）∪（0，2）．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查不等式的解集的求法，主要考查函數(shù)求導(dǎo)法則及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了奇偶函數(shù)的圖象特征．