如圖，已知橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1的上頂點(diǎn)為A，直線y=-4交橢圓E于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），點(diǎn)P在橢圓E上．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，4），求四邊形ABCP的面積；
（2）若四邊形ABCP為梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n為實(shí)數(shù)），求m+n的最大值．
分析：（1）先求B、C的坐標(biāo)，再利用四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和，即可得到結(jié)論；
（2）因?yàn)锳BCP為梯形分情況討論：①AP平行與BC；②AB平行于CP，則kAB=kCP，求出直線CP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，即可求得P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（x，y），根據(jù)
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n為實(shí)數(shù)），可得x=6m+12n-6，y=9m-4，進(jìn)而可得m+n，利用三角換元，可求m+n的最大值．
解答：解：（1）將y=-4代入橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1，可得x=±6，∴B（-6，-4），C（6，-4）
∴四邊形ABCP的面積為三角形與梯形面積的和
∴S四邊形ABCP=
6×(4+5)
2
+
6×(8+9)
2
=78
（2）因?yàn)锳BCP為梯形分情況討論
①AP平行與BC，則y=5與A重合，所以舍；
②AB平行于CP，則kAB=
5-(-4)
0-(-6)
=
3
2
=kCP，
設(shè)直線CP的方程為y=
3
2
x+C，代入（6，-4）可得C=-13
∴直線CP的方程為y=
3
2
x-13，
與橢圓E：
x2
100
+
y2
25
=1，聯(lián)立消元可得5x2-78x+288=0
∴x=6或
48
5

代入直線CP的方程為y=
3
2
x-13，可得y=-4或
7
5

∴P（
48
5
，
7
5
）；
（3）設(shè)P（x，y），∵
BP
=m•
BA
+n•
BC
（m，n為實(shí)數(shù)），
∴（x+6，y+4）=m（6，9）+n（12，0）=（6m+12n，9m）
∴x=6m+12n-6，y=9m-4
∴m=
1
9
y+
4
9
，n=
1
12
x-
y
18
+
5
18

∴m+n=
3x-2y+26
36

令x=10cosθ，y=5sinθ，∴m+n=
5
6
cosθ-
5
18
sinθ+
13
18
=
5
10
18
cos（θ+α）+
13
18
，所以最大值為
5
10
18
+
13
18
，
∴m+n的最大值為
5
10
18
+
13
18
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查四邊形面積的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，E的左頂點(diǎn)為A、上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P在橢圓上，且△PF1F2的周長(zhǎng)為4+2
3
．
精英家教網(wǎng)
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)C，D是橢圓E上兩不同點(diǎn)，CD∥AB，直線CD與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寧波二模）如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的離心率是
2
2
，P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（P2位于P1右側(cè)），點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足
1
|P1Q|
+
1
|P2Q|
=
2
|FQ|
=2．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對(duì)稱；
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年安徽省宿州市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè),過點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問M,F,Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆吉林省高二期中考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A（2,3），對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)、在x軸上，離心率

（1）求橢圓E的方程；

（2）求的角平分線所在直線的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013年浙江省寧波市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E：的離心率是，P1、P2是橢圓E的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)（P2位于P1右側(cè)），點(diǎn)F是橢圓E的右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q是x軸上位于P2右側(cè)的一點(diǎn)，且滿足．
（Ⅰ） 求橢圓E的方程以及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ） 過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)C，連結(jié)BF并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)D．
①求證：B、C關(guān)于x軸對(duì)稱；
②當(dāng)四邊形ABCD的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

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