Question

△ABC中角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b²+c²-a²+bc=0，
（1）求角A的大小；
（2）若a=

3

，求△ABC面積S_△ABC的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中等式，利用余弦定理算出cosA=-

1

2

，結(jié)合A為三角形的內(nèi)角，可得A=

2π

3

；
（2）利用基本不等式，算出bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時等號成立．由此結(jié)合正弦定理的面積公式，即可算出△ABC面積S_△ABC的最大值．

解答：解：（1）∵△ABC中，b²+c²-a²+bc=0，∴b²+c²-a²=-bc
因此cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

-bc

2bc

=-

1

2

∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=

2π

3

；
（2）∵b²+c²-a²+bc=0，a=

3

∴a²=b²+c²+bc=3，得b²+c²=-bc+3≥2bc
解之得bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時等號成立
∵△ABC面積S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，△ABC面積S_△ABC的最大值為

3

4

．

點評：本題給出三角形的邊之間的平方關(guān)系，求角的大小并依此求三角形面積的最大值．著重考查了正余弦定理解三角形、運用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．