Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+b（A＞0，ω＞0）的最大值為3，最小值為-1，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式：
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）設(shè)α∈（0，$\frac{π}{2}$）f（$\frac{α}{2}$）＞2，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值以及相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$，確定A，ω和φ的值即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)的最大值3，最小值為-1，則A+b=3且-A+b=-1，解得A=2，b=1，
圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離是$\frac{π}{2}$．
即函數(shù)的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，則ω=2，
即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（2）由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（3）∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），f（$\frac{α}{2}$）＞2，
∴f（$\frac{α}{2}$）=2sin（α-$\frac{π}{6}$）+1＞2，
即2sin（α-$\frac{π}{6}$）＞1，即sin（α-$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜α-$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即2kπ+$\frac{π}{3}$＜α＜2kπ+π，k∈Z，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴當(dāng)k=0時(shí)，$\frac{π}{3}$＜α＜π，此時(shí)$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
即α的取值范圍是（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．