（選做題）本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩題評(píng)分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．[選修4-1：幾何證明選講]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合），延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E．
求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE
B．[選修4-2：矩陣與變換]
已知矩陣A=
12
-14

（1）求A的逆矩陣A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C截得的線段長(zhǎng)度．
D．[選修4-5，不等式選講]（本小題滿分10分）
設(shè)a，b，c均為正實(shí)數(shù)，求證：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
分析：A．要證AD 的延長(zhǎng)線平分∠CDE，即證∠EDF=∠CDF，根據(jù)A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．
B．（1）根據(jù)所給的矩陣求這個(gè)矩陣的逆矩陣，可以首先求出ad-bc的值，再代入逆矩陣的公式，求出結(jié)果．
（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
C．曲線C為：x2+y2-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，由此能求出直線被曲線C載得的線段長(zhǎng)度．
D．對(duì)左邊變形
1
2
（
1
2a
+
1
2b
）+
1
2
（
1
2b
+
1
2c
）+
1
2
（
1
2c
+
1
2a
）后兩項(xiàng)應(yīng)用基本不等式，得到三個(gè)不等式后相加即得．
解答：解：A：設(shè)F為AD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，
∵A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
∵對(duì)頂角∠EDF=∠ADB，∴∠EDF=∠CDF，
故AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE．
B：解：（1）ad-bc=4+2=6，
A-1=
d
ad-bc
-b
ad-bc
-c
ad-bc
a
ad-bc
=
2
3
-
1
3
1
6
1
6
，
∴A-1=
2
3
-
1
3
1
6
1
6
．
（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=
.
λ-1-2
1λ-4
.
=λ2-5λ+6，
令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，
當(dāng)λ1=2時(shí)，得
a1
=
2
1
，當(dāng)λ2=3時(shí)，得
a2
=
1
1
．
所以矩陣A屬于特征值2的一個(gè)特征向量為
2
1
，
矩陣M屬于特征值3的一個(gè)特征向量為
1
1
．
C：曲線C為：x2+y2-4y=0，圓心（0，2），半徑為2，
直線l為：
3
x-y+1=0，圓心到直線的距離為：d=
|-2+1|
2
=
1
2

直線被曲線C載得的線段長(zhǎng)度為：2
4-
1
4
=
17
．
D：證明：∵a、b、c均為實(shí)數(shù)，
∴
1
2
（
1
2a
+
1
2b
）≥
1
2
ab
≥
1
a+b
，當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立；
1
2
（
1
2b
+
1
2c
）≥
1
2
bc
≥
1
b+c
，
當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立；
1
2
（
1
2c
+
1
2a
）≥
1
2
ca
≥
1
c+a
．
三個(gè)不等式相加即得
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：A考查直線與圓的位置關(guān)系，B考查逆矩陣的求法和矩陣的特征值和特征向量的求法，C考查極坐標(biāo)標(biāo)方程和參數(shù)方程的應(yīng)用，D考查不等式的證明．都是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2
5
，求線段AC的長(zhǎng)度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=
21
1a
的一個(gè)特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是
x=cosα
y=sinα+1
（α是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標(biāo)系中相同的單位長(zhǎng)度，建立極坐標(biāo)系，求曲線C的極坐標(biāo)方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關(guān)于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，
若多做，則按作答的前兩題評(píng)分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A．   選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）
  如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其半徑分別為與，
圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上），
求證：為定值。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三第一學(xué)期第二次階段考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

【選做題】本題包括A，B，C，D四小題，請(qǐng)選定其中兩題作答，每小題10分，共計(jì)20分，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

A．選修4—1：幾何證明選講

自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，

過點(diǎn)M引圓O的割線交該圓于B、C兩點(diǎn)，且∠BMP=100°，

∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年高考試題數(shù)學(xué)1（江蘇卷）解析版 題型：解答題

 【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，

             若多做，則按作答的前兩題評(píng)分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A． 選修4-1：幾何證明選講

   如圖，圓與圓內(nèi)切于點(diǎn)，其半徑分別為與，

圓的弦交圓于點(diǎn)（不在上），

求證：為定值。

B． 選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣，向量，求向量，使得．

C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，求過橢圓（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)且與直線（為參數(shù)）平行的直線的普通方程。

D．選修4-5：不等式選講

解不等式：

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案