Question

已知tan(

π

4

+α)=

1

2

，求值：
（1）tanα；
（2）

sin2α-cos2α

1+cos2α

．

Answer 1

分析：（1）由題意tan(

π

4

+α)=

1

2

，可由正切的和角公式展開(kāi)得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，由此方程解出tanα；
（2）由正弦與余弦的二倍角公式將

sin2α-cos2α

1+cos2α

這形為

2sinαcosα-cos2α

2cos2α

，再由同角三角關(guān)系，將其變?yōu)?span id="xlhdppn" class="MathJye">

2tanα-1

2

將正切值代入即可求出代數(shù)式的值．

解答：解：（1）由題意tan(

π

4

+α)=

1

2

，可得

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，解得tanα=-

1

3

（2）

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

2cos2α

=

2tanα-1

2

由（1）tanα=-

1

3

，
∴

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2×(- 1 3 )-1

2

=-

5

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，解題的關(guān)鍵是牢固記憶公式，能根據(jù)這些公式靈活變形，求出代數(shù)式的值，三角函數(shù)由于公式多，可選擇的方法多，故解題時(shí)要注意選取最合適的方法解題