Question

為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目，經(jīng)測算，該項(xiàng)目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元，若該項(xiàng)目不獲得，國家將給予補(bǔ)償．
（I）當(dāng)x∈[200，300]時(shí)，判斷該項(xiàng)目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損？
（II）該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

分析：（I）當(dāng)x∈[200，300]時(shí)，該項(xiàng)目獲利S=200x-(

1

2

x2-200x+80000)＜0，說明不獲利；當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值-5000，說明國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損；
（II）二氧化碳的每噸平均處理成本為：

y

x

=

1 3 x2 -80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

；分段討論，①當(dāng)x∈[120，144）時(shí)，求出

y

x

的最小值；②當(dāng)x∈[144，500]時(shí)，求出

y

x

的最小值；比較得每月處理量為多少噸時(shí)，能使每噸的平均處理成本最低．

解答：解：（I）當(dāng)x∈[200，300]時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則
S=200x-(

1

2

x2-200x+80000)=-

1

2

x²+400x-80000=-

1

2

（x-400）²；
當(dāng)x∈[200，300]時(shí)，S＜0，此時(shí)該項(xiàng)目不會(huì)獲利；
當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值-5000，所以，國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損．
（II）由題意知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：

y

x

=

1 3 x2 -80x+5040，x∈[120，144) 1 2 x+ 80000 x -200，x∈[144，500]

，
則：①當(dāng)x∈[120，144）時(shí)，

y

x

=

1

3

x²-80x+5040=

1

3

（x-120）²+240，∴當(dāng)x=120時(shí)，

y

x

取得最小值240；
②當(dāng)x∈[144，500]時(shí)，

y

x

=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x=

80000

x

，即x=400時(shí)，

y

x

取得最小值200；
∵200＜240，∴當(dāng)每月處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低．

點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)模型的應(yīng)用題目，并且考查了求二次函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)的最值等問題，是中檔題．