Question

已知定義在（-∞，4）上的減函數(shù)f（x），使得f（m-sinx）≤f（

1+2m

-

7

4

+cos²x）對(duì)于一切實(shí)數(shù)均成立，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過(guò)已知條件容易得到不等式組

m-sinx＜4 1+2m - 7 4 +cos2x＜4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos2x

，該不等式組對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，要求m的范圍，所以想著將該不等式組變成

m＜sinx+4 1+2m ＜-cos2x+ 23 4 m- 1+2m ≥-sin2x+sinx- 3 4

．所以接下來(lái)求函數(shù)sinx+4，-cos2x+

23

4

在R上的最小值，求函數(shù)-sin2x+sinx-

3

4

在R上的最大值，便可得到

m＜3 1+2m ＜ 19 4 m- 1+2m ≥- 1 2

，解該不等式組即得m的范圍．

解答： 解：根據(jù)已知條件得：

m-sinx＜4 1+2m - 7 4 +cos2x＜4 m-sinx≥ 1+2m - 7 4 +cos2x

，即不等式組

m＜sinx+4 1+2m ＜-cos2x+ 23 4 m- 1+2m ≥-sin2x+sinx- 3 4

在R上恒成立；
∵sinx+4在R上的最小值為3，-cos2x+

23

4

在R上的最小值為

19

4

；
∵-sin2x+sinx-

3

4

=-(sinx-

1

2

)2-

1

2

；
∴sinx=

1

2

時(shí)，-sin2x+sinx-

3

4

的最大值為-

1

2

；
∴

m＜3 1+2m ＜ 19 4 m- 1+2m ≥- 1 2

，解得：

3

2

≤m＜3，或m=-

1

2

；
∴實(shí)數(shù)m的范圍為{m|

3

2

≤m＜3，或m=-

1

2

}．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)的定義域，及減函數(shù)的定義，以及當(dāng)含有參數(shù)的不等式在某一區(qū)間上恒成立時(shí)求參數(shù)范圍的方法，以及解無(wú)理不等式．