Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²cos²θ-4ρsinθ=4
（1）若α=$\frac{π}{4}$，求直線l的極坐標(biāo)方程以及曲線C的直角坐標(biāo)方程：
（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=12，求直線l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ求出直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求出ρ₁+ρ₂=$\frac{4sinα}{{cos}^{2}α}$，ρ₁ρ₂=-$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，根據(jù)|MN|=12，求出直線l的斜率即可．

解答 解：（1）由題意，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
可得直線l是過(guò)原點(diǎn)的直線，
故其極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），
又ρ²cos²θ-4sinθ=4，
故x²=4y+4；
（2）由題意，直線l的極坐標(biāo)為θ=α（ρ∈R），
設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，
將θ=α（ρ∈R）代入曲線C的極坐標(biāo)可得：
ρ²cos²α-4ρsinα-4=0，
故ρ₁+ρ₂=$\frac{4sinα}{{cos}^{2}α}$，ρ₁ρ₂=-$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，
∴|MN|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{{{（ρ}_{1}{+ρ}_{2}）}^{2}-{{4ρ}_{1}ρ}_{2}}$=$\frac{4}{{cos}^{2}α}$，
故$\frac{4}{{cos}^{2}α}$=12，則cos²α=$\frac{1}{3}$，
故直線l的斜率是±$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線的斜率，是一道中檔題．