Question

2．若函數(shù)f（x）=x²+x+alnx在（1，3）內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-7，-3）
• B． [-21，-3]
• C． [-7，-3]
• D． （-21，-3）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）=2x²+x+a在（1，3）有根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+x+alnx在區(qū)間（1，3）內(nèi)有極值
?函數(shù)f′（x）=0在區(qū)間（1，3）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，
f′（x）=2x+1+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+x+a}{x}$，
即g（x）=2x²+x+a在（1，3）有根，
∵g（x）的對(duì)稱軸x=-$\frac{1}{4}$，開(kāi)口向上，
∴g（x）在（1，3）遞增，
故只需$\left\{\begin{array}{l}{g（1）＜0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3+a＜0}\\{21+a＞0}\end{array}\right.$，
解得：-21＜a＜-3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．