Question

給出下列四個(gè)命題：
①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是直四棱柱；
②若f（x）是單調(diào)函數(shù)，則f（x）與它的反函數(shù)f ^-1（x）具有相同的單調(diào)性；
③若兩平面垂直相交于直線m，則過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于m的直線就垂直于另一平面；
④在120°的二面角內(nèi)放一個(gè)半徑為6的球，使它與兩個(gè)半平面各有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則球心到這個(gè)二面角的棱的距離是2

3

．其中，不正確命題的序號(hào)為

①

．

Answer 1

分析：①當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱；當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不是直四棱柱；
②若f（x）是單調(diào)函數(shù)，必然存在反函數(shù)，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱，故具有相同的單調(diào)性；
③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，結(jié)論正確；
④由題意可得，∠APB=120°，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，OA⊥AP，OB⊥PB，從而可得∠AOB=60°，從而可求球心到這個(gè)二面角的棱的距離

解答：解：①當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且相鄰時(shí)，四棱柱是直四棱柱；當(dāng)兩個(gè)側(cè)面是矩形且不相鄰時(shí)，四棱柱不是直四棱柱，故①錯(cuò)；
②若f（x）是單調(diào)函數(shù)，必然存在反函數(shù)，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱，可知②正確；
③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，若兩平面垂直相交于直線m，則過一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于m的直線就垂直于另一平面，故正確；
④由題意可得，∠APB=120°，連接OA，OB，則根據(jù)切線的性質(zhì)可得，OA⊥AP，OB⊥PB
∴∠AOB=60°
∴球心到這個(gè)二面角的棱的距離是OP=2

3

，故正確．
故答案為：①

點(diǎn)評(píng)：本題以命題為載體，考查立體幾何中的概念與性質(zhì)，解題時(shí)應(yīng)一一判斷，正確運(yùn)用相關(guān)定理．