Question

某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元（2≤a≤6）的管理費，預計當每件產(chǎn)品的銷售價為x元（7≤x≤9）時，一年的銷售量為（12-x）萬件．
（1）求該分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤L最大，并求L的最大值Q（a）．

Answer 1

解：（1）該分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式為：
L=（x-a-2）（12-x），x∈[7，9]．…（6分）
（2）當2≤a＜4時，此時，，
所以，當時，L的最大值，…（3分）
當4≤a≤6時，此時，，
所以，當x=9時，L的最大值Q（a）=3（7-a）．…（3分）
答：若2≤a＜4，則當每件產(chǎn)品售價為元時，該分公司一年的利潤L最大，最大值；若4≤a≤6，則當每件產(chǎn)品售價為9元時，該分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=3（7-a）． …（2分）
分析：（1）根據(jù)題意先求出每件產(chǎn)品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)L與x的函數(shù)關(guān)系式先求出該函數(shù)的導數(shù)，令L′（x）=0便可求出當時，利潤最大，再根據(jù)a的取值范圍分類討論當a取不同的值時，最大利潤各為多少．
點評：本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的求法以及利用導數(shù)來求得函數(shù)的最值問題，是各地高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數(shù)學思想的運用，屬于中檔題．