Question

7．如圖，在△ABC中，N為線段AC上接近A點的四等分點，若$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$，則實數(shù)m的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 由題意可知：$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$，由$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，根據(jù)向量相等可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$，即可求得m的值．

解答 解：N為線段AC上接近A點的四等分點，
∴$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
設$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BN}$，則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}$+λ（$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AB}$）=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AN}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{λ}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}=（{m+\frac{2}{9}}）\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{BC}$=m$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{λ}{4}=\frac{2}{9}}\\{1-λ=m}\end{array}\right.$，即λ=$\frac{8}{9}$，m=$\frac{1}{9}$，
故答案選：A．

點評 本題考查平面向量的基本定理及其意義，考查向量加法的三角形法則及兩個向量相等的充要條件，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎題．