Question

設(shè)曲線y=（ax-1）e^x在點A（x₀，y₁）處的切線為l₁，曲線y=

1-x

ex

在點B（x₀，y₂）處的切線為l₂．若存在x₀∈[0，

3

2

]，使得l₁⊥l₂，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,直線與圓

分析：根據(jù)曲線方程分別求出導(dǎo)函數(shù)，把A和B的橫坐標x₀分別代入到相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)中求出切線l₁和切線為l₂的斜率，然后根據(jù)兩條切線互相垂直得斜率乘積為-1，列出關(guān)于x0的等式，求出a，對a的函數(shù)求得導(dǎo)數(shù)，判斷為減函數(shù)，求出其值域即可得到a的取值范圍．

解答： 解：函數(shù)y=（ax-1）e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=（ax+a-1）e^x，
∴l(xiāng)₁的斜率為k1=（ax0+a-1）ex0，
函數(shù)y=（1-x）e^-x的導(dǎo)數(shù)為y′=（x-2）e^-x
∴l(xiāng)₂的斜率為k2=（x0-2）e-x0，
由題設(shè)有k₁•k₂=-1從而有（ax0+a-1）ex0•（x0-2）e-x0=-1，
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3
∵x₀∈[0，

3

2

]，得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=

x0-3

x02-x0-2

，
又a′=-

(x0-1)(x0-5)

(x02-x0-2)2

，令導(dǎo)數(shù)大于0得，1＜x₀＜5，
故a=

x0-3

x02-x0-2

在（0，1）是減函數(shù)，在（1，

3

2

）上是增函數(shù)，
x₀=0時取得最大值為

3

2

；
x₀=1時取得最小值為1．
∴1≤a≤

3

2

．
故答案為：[1，

3

2

]．

點評：此題是一道綜合題，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，會求函數(shù)的值域，掌握兩直線垂直時斜率的關(guān)系．