Question

11．已知函數(shù)f（x）=x²+tx+t，?x∈R，f（x）＞0，函數(shù)g（x）=3x²-2（t+1）x+t，則“?a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”為真命題的概率是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x²+tx+t，?x∈R，f（x）＞0，利用△=t²-4t＜0，0＜t＜4，運(yùn)用二次方程根的分布，求出“?a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”為真命題的t的范圍，即可求出概率．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x²+tx+t，?x∈R，f（x）＞0，
∴△=t²-4t＜0，∴0＜t＜4．
“?a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”為真命題，
則$\left\{\begin{array}{l}{0＜\frac{t+1}{3}＜1}\\{t＞0}\\{3-2（t+1）+t＞0}\\{4（t+1）^{2}-12t＞0}\end{array}\right.$，∴0＜t＜1，
∴“?a，b∈（0，1）使得g（a）=g（b）=0”為真命題的概率是$\frac{1-0}{4-0}$=$\frac{1}{4}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查不等式恒成立問題，考查二次方程根的分布，考查概率的計算，屬于中檔題．