Question

16．已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，A是其右頂點(diǎn)，B是該橢圓在第一象限部分上的一點(diǎn)，且$∠AOB=\frac{π}{4}$，若點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為（　�。�

• A． [-3，3]
• B． [-9，3]
• C． $[-2-\sqrt{3}\;，\;2-\sqrt{3}]$
• D． $[-3\sqrt{3}\;，\;3]$

Answer 1

分析 求得直線OB的斜率，代入橢圓方程，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍．

解答 解：由橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$焦點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，0），∵$∠AOB=\frac{π}{4}$，
∴直線OB所在的直線為：y=x，
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x），（x＞0）
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1$，解得：x²=$\frac{3}{2}$，則x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{6}$，0）•（$\sqrt{6}$cosθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sqrt{2}$sinθ-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=6cosθ-3，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴當(dāng)cosθ=-1時(shí)，取最小值，最小值為-6-3=-9，
當(dāng)cosθ=1時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$取最大值，最大值為6-3=3，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍[-9，3]．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的參數(shù)方程，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，余弦函數(shù)的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．