Question

選修4-5：不等式選講
解不等式：||x+logx|＜|x|+|log_x|．

Answer 1

分析：本題是一個絕對值不等式，首先考慮去掉絕對值號，由于x處在真數(shù)的位置，由此隱含條件可以將不等式轉(zhuǎn)化為|x+log₃x|＜x+|log₃x|，再對log₃x的符號進行討論，去掉絕對值號解出不等式的解集

解答：解：由已知得x＞0，
∴原不等式化為|x+log₃x|＜x+|log₃x|…（2分）
（1）當(dāng)log₃x≥0時，x+log₃x＜x+log₃x不成立                      …（4分）
（2）當(dāng)log₃x＜0時，|x+log₃x|＜x-log₃x
此不等式等價于

x+log3x＜x-log3x x+log3x＞log3x-x

即

0＜x＜1 x＞0

∴0＜x＜1          …（8分）
故原不等式的解集為{x|0＜x＜1}                                      …（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，解題的關(guān)鍵是通過絕對值的意義，將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為對數(shù)不等式，由對數(shù)的運算性質(zhì)解出不等式的解集，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想與計算能力，絕對值不等式的解法常規(guī)思路就是去絕對值號，其方法本題采取了分類討論的辦法，分大于等于0與小于0兩類去絕對值號，有此也可通過平方的方法去掉絕對值號，題后總結(jié)一下規(guī)律，新教材實驗區(qū)近幾年高考試卷上不再出現(xiàn)絕對值不等式，其解法已不再作為考點