Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+k）（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)
（1）求k的值
（2）若函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍
（3）討論關(guān)于x的方程

lnx

f(x)

=x2-2ex+m的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)槎�義域是實(shí)數(shù)集R，直接利用奇函數(shù)定義域內(nèi)有0，則f（-0）=-f（0）即f（0）=0，即可求k的值；
（2）先利用函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，求出λ的取值范圍以及得到g（x）的最大值g（-1）=-1-sin1；然后把g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立轉(zhuǎn)化為-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），整理得（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，再利用一次函數(shù)的思想方法求解即可．
（3）先把方程轉(zhuǎn)化為

lnx

x

=x²-2ex+m，令F（x）=

lnx

x

（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），再利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)的最值，比較其最值即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（e^x+k）（k為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
則ln（e⁰+k）=0解得k=0，
顯然k=0時(shí)，f（x）=x是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因?yàn)間（x） 在[-1，1]上單調(diào)遞減，∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
則

t+1≤0 h(-1)=-t-1+t2+sin1+1≥0

解得t≤-1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程轉(zhuǎn)化為

lnx

x

=x²-2ex+m，令F（x）=

lnx

x

（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），（8分）
∵F'（x）=

1-lnx

x2

，令F'（x）=0，即

1-lnx

x2

=0，得x=e
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)；（9分）
當(dāng)x=e時(shí)，F(xiàn)（x）_max=F（e）=

1

e

（10分）
而G（x）=（x-e）²+m-e²   （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù)；（11分）
當(dāng)x=e時(shí)，G（x）_min=m-e²（12分）
∴當(dāng)m-e2＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng)m-e2=

1

e

，即m=e2+

1

e

時(shí)，方程有一個(gè)根；
當(dāng)m-e2＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

時(shí)，方程有兩個(gè)根；（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題以及導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于難題．
在涉及到奇函數(shù)定義域內(nèi)有0時(shí)，一般利用結(jié)論f（0）=0來(lái)作題．