如圖，α和β為平面，α∩β＝l，A∈α，B∈β，AB＝5，A，B在棱l上的射影分別為．若二面角α―l―β的大小為，求：

(Ⅰ)點B到平面α的距離；

(Ⅱ)異面直線l與AB所成的角(用反三角函數(shù)表示)．

答案：
解析：

　　(1)如上圖，過點作直線C∥A．且使C＝A．過點B作BD⊥C，交C的延長線于D．

　　由已知A⊥l，可得D⊥l，又已知B⊥l，故l⊥平面BD，得BD⊥l．又因BD⊥C，從而BD⊥平面，BD之長即為點B到平面α的距離．

　　因C⊥l且B⊥l，故∠BC為二面角的平面角．

　　由題意，∠BC＝．因此在Rt△BD中，B＝2，∠BD＝∠BC＝，BD＝B·sinBD＝．

　　(Ⅱ)連接AC、BC．因C∥A，C＝A，A⊥l，知AC為矩形，故AC∥l．所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線l與AB所成的角．

　　在△BC中，B＝2，C＝3，∠BC＝，則由余弦定理，

　　．

　　因BD平面，且DCCA，由三垂線定理知ACBC．

　　故在△ABC中，∠BCA＝，sinBAC＝．

　　因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin．


提示：

本題主要考查立體幾何中的主干知識，如線線角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解題的關(guān)鍵是線面平行、三垂線定理等基礎(chǔ)知識，本題屬中等題．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年浙江卷）（本題14分）如圖，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）當(dāng)的長為何值時，二面角的大小為？

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（08年長沙一中一模文）如圖，已知、為平面上的兩個定點，為動點，

且（是和的交點）。

       （1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點的軌跡方程；

       （2）若點的軌跡上存在兩個不同的點A、B，且線段AB的中垂線與（或的延長線）相交于一點，證明：（為的中點）。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011屆湖北省襄陽五中高三第四次模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本小題滿分13分)
如圖，已知、為平面上的兩個定點，，且，（為動點，是和的交點）.

（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系求出點的軌跡方程；
（Ⅱ）若點的軌跡上存在兩個不同的點、，且線段的中垂線與直線相交于一點，證明＜（為的中點）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆云南省高二下期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且為中點.

（Ⅰ） 求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

 

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