Question

19．已知曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直線l：$ρ=\frac{6}{2cosθ+sinθ}$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
（Ⅱ）過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，直接轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化方法可得直線l的普通方程．
（2）在曲線C上任意取一點(diǎn)P （2cosθ，3sinθ）到l的距離為$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答 解：（Ⅰ） 曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
直線l的普通方程為：2x+y-6=0                 （5分）
（Ⅱ）在曲線C上任意取一點(diǎn)P （2cosθ，3sinθ）到l的距離為$d=\frac{{\sqrt{5}}}{5}|{4cosθ+3sinθ-6}|$，
則$|PA|=\frach49zqjb{{sin{{45}^0}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}|{5sin（{θ+α}）-6}|$，其中α為銳角．且$tanα=\frac{4}{3}$．
當(dāng)sin（θ+α）=-1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為$\frac{{11\sqrt{10}}}{5}$；
當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．