Question

14．求函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1，x∈[-3，2]的最大值和最小值．

Answer 1

分析 令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x的范圍，求得t的范圍，再由二次函數(shù)的值域求法，可得f（x）的最值．

解答 解：令t=（$\frac{1}{2}$）^x，由x∈[-3，2]，可得t∈[$\frac{1}{4}$，8]，
y=t²-t+1=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{2}$，區(qū)間[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]為減區(qū)間，
（$\frac{1}{2}$，8]遞增，
即有t=$\frac{1}{2}$，即x=1時(shí)，取得最小值$\frac{3}{4}$；
t=8，即x=-3時(shí)，取得最大值57．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．