Question

15．設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足a_nb_n=log₃a_n，數列{b_n}的前n項和為T_n．求$\frac{4}{3}$|T_n-$\frac{13}{12}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當n≥2時，通過a_n=S_n-S_n-1計算即得結論；
（Ⅱ）通過（I）、利用對數性質可知數列{b_n}的通項公式，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵2S_n=3ⁿ+3，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（3ⁿ+3）-$\frac{1}{2}$（3^n-1+3）=3^n-1，
又∵a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（3+3）=3不滿足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（I）可知b_n=$\frac{lo{g}_{3}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}，}&{n=1}\\{\frac{n-1}{{3}^{n-1}}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-2}{{3}^{n-1}}$+$\frac{n-1}{{3}^{n}}$，
兩式錯位相減得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{3}^{2}}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{2}{9}$+$\frac{\frac{1}{3}-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$
=$\frac{13}{18}$-$\frac{2n+1}{2•{3}^{n}}$，
∴T_n=$\frac{13}{12}$-$\frac{2n+1}{4•{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{4}{3}$|T_n-$\frac{13}{12}$|=$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法計算即得結論，注意解題方法的積累，屬于中檔題．