Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)f（x）＝ln（x＋a）－x2－x在x＝0處取得極值．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）＝－x＋b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln<都成立．

Answer 1

（1）  a=1
（2）  ln3 -1≤b<ln2 +
（3）  略

解：(Ⅰ)  =  ，∵x=0時(shí)，f(x)取得極值，∴=0，
故 =0，解得a=1.經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意. ……………4分
(Ⅱ)由知，由,得
，令,
則f(x)= +b在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ(x)=0在[0，2]恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
，
當(dāng)x∈(O，1)時(shí)，，于是在(O，1)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(1，2)時(shí)，，于是在(1，2)上單調(diào)遞減．
依題意有
∴l(xiāng)n3 -1≤b<ln2 +.………………………………………8分
(Ⅲ) 的定義域?yàn)閧x|x> -1}，
由(Ⅰ)知， 令=0得，x=0或x= (舍去)，
∴當(dāng)-1<x<0時(shí)，>0，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x>0時(shí)，<0，f(x)單調(diào)遞減.
∴f(0)為f(x)在(-1,+∞)上的最大值.
∴f(x)≤ f(0)，故ln(x+1)-x2-x≤0(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立).
對(duì)任意正整數(shù)n，取x=>0得，ln(+1)< +，
故ln()<.……………………………………12分