已知函數(shù)f（x）=log2（2x+1）
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）記f-1（x）為函數(shù)f（x）的反函數(shù)，關(guān)于x的方程f-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范圍．
【答案】分析：（1）用單調(diào)性定義證明，先任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形，通過分析，與零比較，要注意變形要到位．
（2）先求得反函數(shù)f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），構(gòu)造函數(shù)=利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．
解答：解：（1）任取x1＜x2，則f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=，
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴，
∴f（x1）＜f（x2），
即函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增

（2）∵f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），
∴m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）==
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，，
∴
∴m的取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題，還考查了轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造轉(zhuǎn)化函數(shù)的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對(duì)任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點(diǎn)M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點(diǎn)M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí)，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時(shí)，對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點(diǎn)A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅱ）若直線l過點(diǎn)（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實(shí)數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點(diǎn)的直線l，使得l為曲線C的對(duì)稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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