Question

各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足：S_n=

1

4

an2+

1

2

an+

1

4

(n∈N*)．
（1）求a_n；
（2）設(shè)函數(shù)f（n）=

an     (n為奇數(shù))       f( n 2 )   (n為偶數(shù))

，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）首先求出a₁=1，然后求出當(dāng)n≥2時(shí)數(shù)列的遞推式，由Sn-1=

1

4

a

n-1 2

+

1

2

an-1+

1

4

轉(zhuǎn)化成（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再根據(jù)等差數(shù)列的知識點(diǎn)求出數(shù)列{a_n}的表達(dá)式，
（2）根據(jù)f(n)=

an     (n為奇數(shù))       f( n 2 )   (n為偶數(shù))

求出c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，再求出數(shù)列{c_n}的表達(dá)式，最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）由Sn=

1

4

an2+

1

2

an+

1

4

，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=

1

4

a

2 n-1

+

1

2

an-1+

1

4

，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又?jǐn)?shù)列{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
∴a_n=2n-1，
（2）由f(n)=

an     (n為奇數(shù))       f( n 2 )   (n為偶數(shù))

，可以得到c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
故當(dāng)n≥3，n∈N^*時(shí)，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）=2ⁿ+n，
∴Tn=

5   (n=1) 2n+n  (n≥2)

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推式和求數(shù)列前n項(xiàng)和的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比和等差數(shù)列的性質(zhì)及其求和公式，特別注意第（2）問數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式是分段的，本題有一定難度，需要同學(xué)們做題時(shí)要仔細(xì)．