Question

記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如，[2]=2，[1.5]=1．設(shè)a為正整數(shù)，數(shù)列{x_n}滿足x₁=a，x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]（n∈N^*），現(xiàn)有下列命題：
①當(dāng)a=5時，數(shù)列{x_n}的前3項依次為5，3，2；
②對數(shù)列{x_n}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時總有x_n=x_k；
③當(dāng)n≥1時，x_n＞

a

-1；
④對某個正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，則當(dāng)n≥k時，總有x_n=[

a

]．
其中的真命題有

 

．（寫出所有真命題的編號）．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：按照給出的定義對四個命題結(jié)合數(shù)列的知識逐一進行判斷真假．對于①：列舉即可；對于②：需舉反例；對于③，可用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；對于④：可由歸納推理判斷其正誤．

解答： 解：對于①：當(dāng)a=5時，x₁=5，x₂=[

5+[ 5 5 ]

2

]=3，x₃=[

3+[ 5 3 ]

2

]=2，故①正確；
對于②：當(dāng)a=1時，x2=[

1+[ 1 1 ]

2

]=1，x₃=1，x_k恒等于[

1

]=1；
當(dāng)a=2時，x₁=2，x2=[

2+1

2

]=1，x₃=[

1+[ 2 1 ]

2

]=1，
∴當(dāng)k≥2時，恒有xk=[

2

]=1；
當(dāng)a=3時，x₁=3，x₂=2，x₃=1，x₄=2，x₅=1，x₆=2，x₇=1，…，
此時數(shù)列{x_n}除第一項外，從第二項起以后的項以2為周期重復(fù)出現(xiàn)，
因此不存在正整數(shù)k，使得n≥k時，總有x_n=x_k，故②不正確；
對于③：在xn+[

a

xn

]中，當(dāng)

a

xn

為正整數(shù)時，xn+[

a

xn

]=xn+

a

xn

≥2

a

，
∴x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]≥[

2 a

2

]=[

a

]；
當(dāng)

a

xn

不是正整數(shù)時，令[

a

xn

]=

a

xn

-t，t為[

a

xn

]的小數(shù)部分，
0＜t＜1，x_n+1=[

xn+[ a xn ]

2

]=[

xn+ a xn -t

2

]＞[

2 a -t

2

]=[

a

-

t

2

]=[

a

]，
∴xn+1≥[

a

]，∴xn≥[

a

]，∴xn＞

a

-1，故③正確；
由以上論證知，存在某個正整數(shù)k，若x_k+1≥x_k，
則當(dāng)n≥k時，總有x_n=[

a

]，故④正確．
故答案為：①，③，④．

點評：本題主要考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，難度較大，需有較強的推理和思維能力．