Question

（2012•綿陽二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F_lvF₂，離心率e=

2

2

，A為右頂點，K為右準(zhǔn)線與x軸的交點，且

AF2

•

AK

=4-3

2

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點為B，問是否存在直線l，使直線l交橢圓于C，D兩點，且橢圓的左焦點F₁恰為△BCD的垂心？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

2

2

，得a=

2

c，利用

AF2

•

AK

=4-3

2

可得(c-a)(

a2

c

-a)=4-3

2

，求出幾何量，從而求出橢圓方程；
（Ⅱ）直線F₁B：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．利用橢圓的左焦點F₁恰為△BCD的垂心可得

F1C

•

BD

=0，從而可得2×

2m2-2

3

+(1-m)×

4m

3

+m2-m=0，進而可確定m的值，由此可得直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)焦點坐標(biāo)為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由e=

2

2

，得a=

2

c．    ①
∵A為右頂點，K為右準(zhǔn)線與x軸的交點，
∴A（a，0），K（

a2

c

，0），
∴

AF2

=（c-a，0），

AK

=（

a2

c

-a，0），
∵

AF2

•

AK

=4-3

2

∴(c-a)(

a2

c

-a)=4-3

2

　　�、�
由①、②解得a=

2

，c=1，
∵b²=a²-c²=1，∴b=1．
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．（5分）
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l滿足題意，B（0，1），F(xiàn)₁（-1，0），
于是直線F₁B的斜率為

1-0

0+1

=1．
由于BF₁⊥CD，令l：y=-x+m，代入x²+2y²=2整理，得3x²-4mx+2m²-2=0．
令C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則

△=8(3-m2)＞0 x1+x2 = 4m 3 x1x2= 2m2-2 3

又

F1C

•

BD

=（x₁+1，y₁）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+x₂+y₁y₂-y₁=x₁x₂+x₂+（m-x₁）（m-x₂）-（m-x₁）
=2x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）-m+（x₁+x₂）=2x₁x₂+（1-m）（x₁+x₂）+m²-m，
由

F1C

•

BD

=0，代入x₁+x₂，x₁x₂得2×

2m2-2

3

+(1-m)×

4m

3

+m2-m=0，
整理得3m²+m-4=0，
解得m=1或-

4

3

． （11分）
當(dāng)m=1時，直線l恰過B點，于是B、C、D不構(gòu)成三角形，故m=1舍去．
當(dāng)m=-

4

3

時，滿足△=8（3-m²）＞0．
故所求的直線l為：y=-x-

4

3

，即3x+3y+4=0．（14分）

點評：本題重點考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查存在性問題的研究，聯(lián)立直線方程與橢圓方程是解題的關(guān)鍵．