Question

找一個最小的正整數m，使得當正整數n≥m時，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，并用數學歸納法證明這個不等式．

Answer 1

【答案】分析：對n=1，2，3，4，…取值驗證或借助于函數y=2^x與y=x²的圖象，找出最小的正整數m等于6，再按照數學歸納法的步驟進行證明．
解答：解：當n=1時2^n-1＞（n-1）²
當n=2時，2^n-1＞（n-1）²
當n=3時，2^n-1=（n-1）²
當n=4時2^n-1＜（n-1）²
當n=5時2^n-1=（n-1）²
當n=6時  2^n-1＞（n-1）²
當n=7，8時  2^n-1＞（n-1）²
…
猜想當n≥6，2^n-1＞（n-1）² 恒成立．m的最小值為6．
 或令n-1=t，在同一平面直角坐標系內函數y=2^t與y=t²的圖象

交于兩點（2，4），（4，16），當t≥5時2^t＞t²，所以當n≥6時，2^n-1＞（n-1）² 恒成立，得m的最小值為6．
數學歸納法證明：
（1）當n=6時，2^6-1=25=32，（6-1）²=25，32＞25，2^n-1＞（n-1）² 成立
（2）假設當n=k（k≥6）時不等式成立，即有2^k-1＞（k-1）²
則當n=k+1時，2^（k+1）-1=2^k=2•2^k-1＞2•（k-1）²=k²+[（k-2）²-2]＞k²  （∵（k-2）²-2＞0）
=[（k+1）-1]²，即是說 當n=k+1時不等式也成立．
由（1）（2）可知當n≥6，時2^n-1＞（n-1）² 恒成立．
點評：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數學歸納法證明命題．函數y=2^x與y=x²是考查指數函數與冪函數綜合題時常用的兩個模型，應掌握同一平面直角坐標系內的圖象，以便于研究解決問題．