Question

已知函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．證明：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜

1

6

an³．

Answer 1

分析：（I）先利用數(shù)學歸納法證明0＜a_n＜1，再比較a_n+1和a_n的大小即可證明結論．
（II）構造新函數(shù)g(x)=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1．利用g（x）在（0，1）上單調(diào)性來求g（x）的函數(shù)值的范圍即可證明結論．

解答：證明：（I）先用數(shù)學歸納法證明0＜a_n＜1，n=1，2，3，
（i）當n=1時，由已知顯然結論成立．
（ii）假設當n=k時結論成立，即0＜a_k＜1．
因為0＜x＜1時f′（x）=1-cosx＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．又f（x）在[0，1]上連續(xù)，
從而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1．
故n=k+1時，結論成立．
由（ i）、（ii）可知，0＜a_n＜1對一切正整數(shù)都成立．
又因為0＜a_n＜1時，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，
所以a_n+1＜a_n，
綜上所述0＜a_n+1＜a_n＜1．
（II）設函數(shù)g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1．由（I）知，
當0＜x＜1時，sinx＜x，
從而g′（x）=cosx-1+

x2

2

=-2sin2

x

2

+

x2

2

＞-2(

x

2

)2+

x2

2

=0．
所以g（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，且g（0）=0，
所以當0＜x＜1時，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即sina_n-a_n+

1

6

an³＞0．
故a_n+1＜

1

6

an³．

點評：本題考查了函數(shù)與數(shù)列以及數(shù)學歸納法的綜合應用．在用數(shù)學歸納法時，一定要注意其過程的寫法．