已知正實數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．
分析：（I）利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2得(
a
+
b
+
c
)2≤(a+b+c)(1+1+1)，代入已知a+b+c=3即得；
（Ⅱ）由a+b≥2
ab
，得2
ab
+c≤3，若c=ab，由（I）得2
c
+c≤3，(
c
+3)(
c
-1)≤0，從而得出c≤1即得．
解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得(
a
+
b
+
c
)2≤(a+b+c)(1+1+1)
代入已知a+b+c=3，
∴(
a
+
b
+
c
)2≤9，
∴
a
+
b
+
c
≤3
當(dāng)且僅當(dāng)=b=c=1，取等號．（3分）
（Ⅱ）由a+b≥2
ab
，
得2
ab
+c≤3，
若c=ab，則2
c
+c≤3，(
c
+3)(
c
-1)≤0，
所以
c
≤1，
即c≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時，
∴c有最大值1．（7分）．
點評：本題主要考查了一般形式的柯西不等式．證明不等式時，關(guān)鍵是如何湊成能利用一般形式的柯西不等式的形式，注意重要不等式中等號成立的條件．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，且a+b+c=15．
（I）求b的值；
（II）若a+1，b+1，c+4成等比數(shù)列；
（i）求a，c的值；
（ii）若a，b，c為等差數(shù)列{an}的前三項，求數(shù)列{an•xn-1}(x≠0)的前n項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線C1：
x=1+tcosα
y=tsinα
（t為參數(shù)），C2：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)α=
π
3
時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點，當(dāng)α變化時，求P點的軌跡的參數(shù)方程．
（2）已知正實數(shù)a、b、c滿足a2+4b2+c2=3．
（I）求a+2b+c的最大值；
（II）若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，求證：a2+b2+c2＞（a-b+c）2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選考題部分
（1）（選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)）（本小題滿分7分）
在極坐標(biāo)系中，過曲線L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一點A(2
5
，π+θ)（其中tanθ=2，θ為銳角）作平行于θ=
π
4
(ρ∈R)的直線l與曲線分別交于B，C．
（Ⅰ） 寫出曲線L和直線l的普通方程（以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比數(shù)列，求a的值．
（2）（選修4-5 不等式證明選講）（本小題滿分7分）
已知正實數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3，
（Ⅰ） 求證：
a
+
b
+
c
≤3；
（Ⅱ）若c=ab，求c的最大值．

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