Question

已知f（x）=x²+2x+1，若?x∈[1，m]，?t∈R使f（x+t）≤x成立．求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，由已知可得?x∈[1，m]，g（x）≤0恒成立，即g（1）≤0且g（m）≤0，先求出t的范圍，進(jìn)而可得m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x+t）-x=x²+（2t+1）x+（1+t）²，
由題值?x∈[1，m]，f（x+t）≤x恒成立，
即?x∈[1，m]，g（x）≤0恒成立，
即g（1）≤0且g（m）≤0，
即t²+4t+3≤0，m²+（2t+1）m+（t+1）²≤0，
則t∈[-3，-1]，
當(dāng)t=-1時(shí)，得到m²-m≤0，解得0≤m≤1；
當(dāng)t=-3時(shí)，得到m²-5m+4≤0，解得1≤m≤4
綜上得到：m∈[1，4]，

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會進(jìn)行函數(shù)恒成立與不等式之間的轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵．