Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
（1）求b的值；
（2）若函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）若f（x）在x=t處取得極大值，記此極大值為g（t），求g（t）的定義域和值域．

Answer 1

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，直接由導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸是直線x=2求b的值；
（2）把b代入后再求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為3（x-2）²+c-12，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)，只有c-12大于等于0，由此求出c的值
（3）由（2）可知當(dāng)c＜12時(shí)函數(shù)f（x）有極值點(diǎn)，并求出使函數(shù)取得極大值時(shí)的自變量的范圍，則極大值為g（t）的定義域可求，然后對(duì)極大值函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)分析極大值的值域．

解答：解：（1）由f（x）=x³+bx²+cx，得f′（x）=3x²+2bx+c．
因?yàn)楹瘮?shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
所以-

2b

6

=2，于是b=-6；
（2）由（1）知f（x）=x³-6x²+cx，f'（x）=3x²-12x+c=3（x-2）²+c-12．
若f（x）無極值點(diǎn)，則c-12≥0，即c≥12．
（3）由（2）知，當(dāng)c＜12時(shí)，f'（x）=0有兩個(gè)互異實(shí)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜2＜x₂
當(dāng)x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（-∞，x₁）內(nèi)為增函數(shù)； 
當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在區(qū)間（x₂，+∞）內(nèi)為增函數(shù)．
所以f（X）在x=x₁處取極大值，在x=x₂處取極小值．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)c＜12時(shí)，函數(shù)f（x）在x=x₁處存在唯一極大值，所以t=x₁＜2，
于是g（t）的定義域?yàn)椋?∞，2）．
由f′（t）=3t²-12t+c=0，得c=-3t²+12t，
于是g（t）=f（t）=t³-6t²+ct=-2t³+6t²，t∈（-∞，2）．
g'（t）=-6t²+12t=-6t（t-2），
當(dāng)t∈（-∞，0）時(shí)，g'（t）＜0，所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)是減函數(shù)，
當(dāng)t∈（0，2）時(shí)，g'（t）＞0，函數(shù)g（t）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是增函數(shù)，
又當(dāng)t→-∞時(shí)，g（t）→+∞，且g（0）=0，故g（t）的值域?yàn)閇0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)的定義域及值域的求法，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了學(xué)生的邏輯思維能力和分類分析問題得能力，屬中檔題．