Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₄=20，a₃=8；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接把條件用首項和公比表示出來，求出首項和公比即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）先求數(shù)列{b_n}的通項公式及前n項和為S_n，再代入S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50整理即可求出S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．
解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
依題意，有，解之得或；（4分）
又{a_n}單調(diào)遞增，∴，
∴a_n=2ⁿ．（6分）
（2）依題意，，（8分）
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ①，
∴-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n2ⁿ⁺¹②，
∴①-②得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=；（10分）
∴S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50即為2ⁿ⁺¹-2＞50，∴2ⁿ⁺¹＞52，
∵當(dāng)n≤4時，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．（12分）
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合以及數(shù)列與不等式的綜合．在第二問中涉及到數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．