Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0），并判斷f（x）的奇偶性；
（2）如果x＞0時，有f（x）＜0，試判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）在（2）的條件下，若f(1)=-

1

2

，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）令x=y=0得f（0）=0，
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），所以f（-x）=-f（x），
又x∈R，所以f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），
有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）由（2）知f（x）為在[-2，6]上為減函數(shù)．
∴f（x）_max=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f(x)min=f(6)=6f(1)=6×(-

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2

)=-3．