Question

已知定義在R上函數(shù)y=f（x）滿足條件f（x）+f（x-1）=1，當x∈[0，1]時f（x）=x²．給出以下四個命題：
（1）函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）=2x-x²；
（3）函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)；
（4）f(-2005.5)=

3

4

．
其中真命題的序號為

（1）（2）

．

Answer 1

分析：由已知中f（x）+f（x-1）=1，可得f（x+1）+f（x）=1，進而可得f（x+2）=f（x），進而由周期性的定義可得（1）的真假；根據(jù)f（x）+f（x-1）=1，及當x∈[0，1]時f（x）=x²，可求出x∈[1，2]時的解析式進而得到（2）的真假；根據(jù)（1）（2）的結論，求出x∈[-1，0]時的解析式，與x∈[0，1]時f（x）=x²，進行比照后，結合偶函數(shù)的定義，可得（3）的真假；利用（1）中函數(shù)的周期性及x∈[0，1]時f（x）=x²．求出f（-2005.5）的值，可判斷（4）的真假．

解答：解：∵f（x）+f（x-1）=1，則f（x+1）+f（x）=1，即f（x+1）=1-f（x），則f（x+2）=f[（x+1）+1]=1-f（x+1）=1-[1-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以2為周期的函數(shù)，故（1）正確．
∵x∈[1，2]時，x-1∈[0，1]，且x∈[0，1]時f（x）=x²．
∴當x∈[1，2]時，f（x）+f（x-1）=f（x）+（x-1）²=1
∴f（x）=1-（x-1）²=2x-x²，故（2）正確；
由（1）（2）得
當x∈[-1，0]時，x+2∈[1，2]，
此時f（x+2）=f（x）=2（x+2）-（x+2）²=-x²-2x
而此時-x∈[0，1]，
f（-x）=（-x）²=x²≠f（x），故函數(shù)f（x）不為R上的偶函數(shù)，故（3）錯誤；
由（1）得f（-2005.5）=f（0.5）=

1

4

，故（4）錯誤
故答案為：（1）（2）

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的周期性，奇偶性，函數(shù)求值，及函數(shù)解析式的求法，是函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應用，難度中檔．