Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，且PA=AD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥面PCD；
（2）若CD=

2

AD，求BD與面EFD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判斷定理證得AG⊥平面PCD，利用平行四邊形得到EF∥AG，利用兩條平行線中一條垂直一個(gè)平面，另一條也垂直平面，得到EF⊥平面PCD．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由第（1）問可知PC⊥平面AEF，利用向量的數(shù)量積求出BD與面EFD所成角的正弦值．

解答：解：（1）取PD中點(diǎn)G，由PA=AD得AG⊥PD，又CD⊥PD，所以AG⊥平面PCD，
因?yàn)镋G∥AE且相等，
所以EF∥AG，
所以EF⊥平面PCD…（6分）
（2）以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AD=1，則CD=PD=

2

，
所以B(

2

，0，0)，C(

2

，1，0)，D（0，1，0），P（0，0，1），

DB

=(

2

，-1，0)…（1分）
由第（1）問可知PC⊥平面AEF，
所以

PC

=(

2

，1，-1)為平面AEF的法向量…（2分）
所以cos＜

DB

，

PC

＞=

2-1

3 •2

=

3

6

…（2分）
所以所求角的正弦值

3

6

…（1分）

點(diǎn)評(píng)：解決立體幾何中的線面的位置關(guān)系、度量關(guān)系，一般利用的方法是建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量間的位置關(guān)系和度量關(guān)系．