已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為4，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點(diǎn)，直線y=x與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，△AF1F2的面積為2
6
，點(diǎn)P（x0，y0）是橢圓C上的動點(diǎn)
（1）求橢圓C的方程
（2）若∠F1PF2為鈍角，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍．
分析：（1）先確定b的值，再利用△AF1F2的面積為2
6
，及a2=b2+c2，可確定橢圓C的方程；
（2）若∠F1PF2為鈍角，則
PF1
•
PF2
＜0，由此可求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的取值范圍．
解答：解：（1）∵2b=4，∴b=2，①
由題意，設(shè)A（x，x）（x＞0），則
x2
a2
+
x2
b2
=1，②
∵△AF1F2的面積為2
6
，∴cx=2
6
，③
由①，②，③及a2=b2+c2，解得a=2
3
，
∴橢圓C的方程：
x2
12
+
y2
4
=1
（2）∠F1PF2為銳角，則
PF1
•
PF2
＜0
∴x
2
0
+y
2
0
＜8，
∵
x
2
0
12
+
y
2
0
4
=1，
∴x
2
0
＜6，
∴-
6
＜x0＜
6
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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