Question

雙曲線x²-y²=1的左焦點為F，點P是雙曲線左支上位于x軸上方的任一點，則直線PF的斜率的取值范圍是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線方程，得到a²=1，b²=1，所以c=，得左焦點為F（-，0）．再設點P（x，y），可得x²-y²=1，且x＜-1，y＞0，根據(jù)經(jīng)過兩點的斜率公式，得到PF的斜率關于x、y的表達式，化簡得：，最后利用換元的方法，結合用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得直線PF的斜率的取值范圍．
解答：解：設點P（x，y），根據(jù)點P是雙曲線左支上位于x軸上方的點，可得
x²-y²=1，且x＜-1，y＞0
雙曲線x²-y²=1中，a²=1，b²=1
∴c==，得左焦點為F（-，0）
因此直線PF的斜率為==
換元：設，因為x＜-1，所以θ∈（，π）且θ≠
∴=f（θ）
∵f'（θ）=＜0恒成立，
∴f（θ）在（，）和（，π）上都是減函數(shù)
當θ∈（，）時，f（θ）＜f（）=-1；
當θ∈（，π）時，f（θ）＞f（π）=0
∴K_PF＜-1或K_PF＞0
故選D
點評：本題借助于雙曲線中的一條動直線的斜率取值范圍問題，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和函數(shù)的值域與最值等知識點，屬于中檔題．本題也可以用圖象觀察的方法得到答案，而題中給出的過程是這個結論的函數(shù)理論解釋．