Question

已知函數(shù)f(x-1)=

x

-1(x≥1)，函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）．
（I）求函數(shù)f^-1（x）的解析式及定義域；
（II）若函數(shù)g（x）=4f^-1（x）-4（k+2）x+k²-2k+2在[0，2]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（I）從條件中先求得函數(shù)式f（x），y=f（x）中反解出x，再將x，y互換即得．
（II）先化簡寫出函數(shù)f（x）=4x²-4kx+k²-2k+2在區(qū)間[0，2]上有最小值3，對(duì)函數(shù)進(jìn)行配方，對(duì)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行討論，從而可知函數(shù)在何處取得最小值，解出相應(yīng)的a的值．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x-1)=

x

-1(x≥1)，∴f(x)=

x+1

-1(x≥0)，
∴函數(shù)f^-1（x）的解析式為：y=（x+1）²-1，（x≥0）．
（II）解：函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸為 x=

k

2

①當(dāng)

k

2

≤0即k≤0時(shí)g_min（x）=g（0）=k²-2k+2=3解得k=1±

2

k≤0∴k=1-

2

．
②當(dāng)0＜

k

2

＜2即0＜k＜4時(shí) g（x）的最小值g（

k

2

）=-2k+2=3解得 k=-

1

2

∵0＜k＜4故 k=-

1

2

不合題意
③當(dāng)

k

2

≥2即k≥4時(shí)g_min（x）=g（2）=k²-10k+18=3解得 k=5±

10

∵k≥4∴k=5+

10

．
綜上：k=1-

2

．或 5+

10

．

點(diǎn)評(píng)：考查反函數(shù)、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題中的動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和運(yùn)動(dòng)變化的思想方法，屬中檔題．