已知函數(shù)，若在上的最小值記為.
（1）求；
（2）證明：當時，恒有.

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）因為，對實數(shù)分類討論，①，②，分別用導數(shù)法求函數(shù)單調區(qū)間，從而確定的值，再用分段函數(shù)表示；（2）構造函數(shù)，對實數(shù)分類討論，①，②，分別用導數(shù)法求函數(shù)單調區(qū)間，從而確定的最大值，即可證明當時恒有成立.
（1）因為，
①當時，
若，則，，故在上是減函數(shù)；
若，則，，故在上是增函數(shù)；
所以，.
②當，則，，，故在上是減函數(shù)，
所以，
綜上所述，.
（2）令，
①當時，，
若，得，所以在上是增函數(shù)，所以在上的最大值是，且，所以，
故.
若，，則，所以在上是減函數(shù)，
所以在上的最大值是，
令，則，
所以在上是增函數(shù)，所以即，
故，
②當時，，所以，得，
此時在上是減函數(shù)，因此在上的最大值是

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1
(1)y＝f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；
(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調遞增，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是的導函數(shù)，，且函數(shù)的圖象過點．
（1）求函數(shù)的表達式；
（2）求函數(shù)的單調區(qū)間和極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（10分）已知函數(shù)，設為的導數(shù)，
（1）求的值；
（2）證明：對任意，等式都成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，曲線處的切線斜率為0
求b;若存在使得，求a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）
設函數(shù)（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在內存在兩個極值點，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)，且曲線在點處的切線的斜率為.
（1）確定的值；
（2）若，判斷的單調性；
（3）若有極值，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)，，其中為實數(shù),若在上是單調減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)單調區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值為,求的值．

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